Mon premier livret d'épargne (3)

Clara : Nathan, je crois qu'il faut aller un peu plus loin qu'une année. Viens.

Dans le couloir du lycée, il y a des tableaux à disposition des élèves. Clara prend un feutre et commence à expliquer à Nathan.

Clara : On commence par le livret de ton ami Léo : des intérêts simples de \(100\) € par an.
Posons \((u_n)\) la suite définie pour \(n\) entier naturel telle que \(u_n\) représente l'argent sur le livret après \(n\) années. Ainsi \(u_{\color{red}{0}}\) représente l'argent en janvier \(2025+{\color{red}{0}}=2025\) ; \(u_{\color{blue}{1}}\) représente l'argent en janvier \(2025+{\color{blue}{1}}=2026\) et :

• \(u_0=5~000\)
  
• \(u_1=5~000+100=5~100\)
  
• \(u_2=5~100+100=5~200\) 
  
• \(u_3=5~200+100=5~300\) et ainsi de suite.
  

On voit alors apparaître une relation entre le terme précédent et le terme suivant. En effet, pour calculer le terme suivant, on a toujours procédé de la manière suivante :

• \(u_1=u_0+100\)
  
• \(u_2=u_1+100\)
  
• \(u_3=u_2+100\)
  

Et donc on remarque que, pour calculer \(u_{10}\), on aurait besoin de la relation \(u_{10}=u_9+100\).

Nathan : Qu'est-ce que tu expliques bien ! Je vais te surprendre... on peut écrire : \(\boxed{u_{n+1}=u_n+100}\) puisque, pour calculer le terme suivant, on ajoute 100 € au précédent, n'est-ce pas ?

Clara : Oui, c'était le cours de tout à l'heure, tu as été attentif !